По данным на рисунке найдите ∠BAC, если ОА = АВ, а прямая АС является касательной к 11. окружности. Ответ дайте в градусах.

11. Пусть $$ \angle OAC = 90^\circ $$, т.к. $$AC$$ - касательная.

Пусть $$ \angle OCA = x $$, тогда $$ \angle OAB = 90^\circ - x $$

Так как $$ OA = AB $$, то треугольник $$ OAB $$ - равнобедренный, значит, углы при основании равны.

$$ \angle AOB = 180^\circ - 2 \cdot (90^\circ - x) = 180^\circ - 180^\circ + 2x = 2x $$

Так как $$ OA = OC $$, то треугольник $$ OAC $$ - равнобедренный.

Значит, $$ \angle OAC = \angle OCA = x $$

$$ \angle AOC = 180^\circ - 2x $$

Получается, что $$ \angle AOB + \angle AOC = 180^\circ $$ (развернутый угол).

$$ 2x + (180^\circ - 2x) = 180^\circ $$

$$ 4x = 180^\circ $$

$$ x = 45^\circ $$

$$ \angle BAC = \angle BAO + \angle OAC = (90^\circ - x) + x = 90^\circ - 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ $$

Ответ: $$90$$