По данным на рисунке найдите MN, если KM=7, ∠OKM = 30, а прямые КМ и КN

Т.к. $$KM$$ и $$KN$$ - касательные к окружности, то $$OM \perp KM$$ и $$ON \perp KN$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle OKM$$:

$$\angle OKM = 30^\circ$$ (по условию)

$$KM = 7$$ (по условию)

$$OM = KM \cdot tg \angle OKM = 7 \cdot tg 30^\circ = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$$

Рассмотрим четырехугольник $$OKMN$$:

$$\angle OKM = \angle ONM = 90^\circ$$

Сумма углов в четырехугольнике равна $$360^\circ$$

Тогда $$\angle MON = 360^\circ - \angle OKM - \angle ONM - \angle K = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle K = 180^\circ - \angle K$$

$$KN = KM = 7$$ (по свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности)

Тогда $$\triangle KMN$$ - равнобедренный.

$$\angle KMN = \angle KNM = \frac{180^\circ - \angle K}{2}$$

Рассмотрим $$\triangle KMN$$ по теореме косинусов:

$$MN^2 = KM^2 + KN^2 - 2 \cdot KM \cdot KN \cdot cos \angle K$$

$$MN^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot cos \angle K$$

$$MN^2 = 49 + 49 - 98 \cdot cos \angle K = 98 - 98 \cdot cos \angle K$$

$$MN = \sqrt{98 - 98 \cdot cos \angle K} = \sqrt{98(1 - cos \angle K)}$$

Треугольники $$\triangle OKM$$ и $$ \triangle OKN$$ равны по катету и противолежащему углу, следовательно $$OK$$ - биссектриса угла $$ \angle MKO$$ и $$ \angle MKO = \angle NKO = 30^\circ$$

Тогда $$\angle MKN = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$$

$$MN = \sqrt{98(1 - cos 60^\circ)} = \sqrt{98(1 - \frac{1}{2})} = \sqrt{98 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$$

Ответ: 7