Под тонкими их к...рнями шныряли куропатки выт...нув св...и шеи.

Под тонкими их корнями шныряли куропатки, вытянув свои шеи.

Орфограммы: в слове «корнями» пишется О; в слове «вытянув» — Я в корне -тян-; в слове «свои» пишется О.

Пунктуация: оборот «вытянув свои шеи» обособляется как деепричастный.