4. Поезд должен был пройти 840 км в определенн время. На половине пути он был задержан на: мин из-за технической неисправности. Чтобы пр быть вовремя, ему пришлось увеличить скорос на 2 км/ч. Сколько времени поезд находился пути?

4. Решим задачу.

Пусть $$t$$ - время, которое поезд должен был находиться в пути (в часах), а $$v$$ - скорость, с которой он должен был ехать (в км/ч). Тогда расстояние $$S = vt$$, то есть $$840 = vt$$.

Поезд проехал половину пути, то есть 420 км, со скоростью $$v$$ за время $$t_1 = \frac{420}{v}$$.

Затем он был задержан на 30 минут, то есть на 0.5 часа.

Оставшиеся 420 км он проехал со скоростью $$v + 2$$ за время $$t_2 = \frac{420}{v + 2}$$.

Общее время в пути составило $$t_1 + 0.5 + t_2 = \frac{420}{v} + 0.5 + \frac{420}{v + 2}$$.

Так как поезд прибыл вовремя, это время равно $$t = \frac{840}{v}$$.

Получаем уравнение: $$\frac{420}{v} + 0.5 + \frac{420}{v + 2} = \frac{840}{v}$$

Умножим обе части уравнения на $$2v(v+2)$$.

$$840(v+2) + v(v+2) + 840v = 1680(v+2)$$

$$840v + 1680 + v^2 + 2v + 840v = 1680v + 3360$$

$$v^2 + 1682v + 1680 = 1680v + 3360$$

$$v^2 + 2v - 1680 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1680) = 4 + 6720 = 6724$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{6724} = 82$$

$$v_1 = \frac{-2 + 82}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$$

$$v_2 = \frac{-2 - 82}{2 \cdot 1} = \frac{-84}{2} = -42$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v = 40$$ км/ч.

Тогда время, которое поезд находился в пути, равно $$t = \frac{840}{v} = \frac{840}{40} = 21$$ час.

Ответ: 21 час