4. Поезд прошел первую половину пути со скоростью 72 км/ч, вторую половину пути со скоростью 36 км/ч. Определите среднюю скорость поезда на всем пути?

Для решения задачи необходимо использовать формулу средней скорости: $$v_{ср} = \frac{S}{t}$$, где v_{ср} – средняя скорость, S – весь путь, t – все время в пути.

Пусть S – весь путь, тогда первая половина пути – S/2 и вторая половина пути – S/2.

1. Время на первой половине пути: $$t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$$, где $$v_1 = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$.
2. Время на второй половине пути: $$t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$$, где $$v_2 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$.
3. Общее время в пути: $$t = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = \frac{S}{2} \left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right) = \frac{S}{2} \left(\frac{v_1 + v_2}{v_1v_2}\right)$$.
4. Средняя скорость: $$v_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{S}{\frac{S}{2} \left(\frac{v_1 + v_2}{v_1v_2}\right)} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$$.
5. Подставим значения скоростей в формулу: $$v_{ср} = \frac{2 \cdot 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}}}{72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} + 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = \frac{2 \cdot 72 \cdot 36}{108} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 36}{3} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 48 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$.

Ответ: 48 км/ч.