3. Последовательность $$3; \frac{3}{4}; \frac{3}{16}; ...$$ – геометрическая прогрессия. Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

Чтобы определить, какое из чисел является членом геометрической прогрессии, найдем знаменатель прогрессии $$q$$. $$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{3}{4}}{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$$ Теперь определим общий член геометрической прогрессии: $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$ $$a_n = 3 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$$ Проверим предложенные варианты: 1) $$\frac{3}{32} = 3 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} => (\frac{1}{4})^{n-1} = \frac{1}{32} => (\frac{1}{4})^{n-1} = (\frac{1}{2})^5 => (\frac{1}{2})^{2n-2} = (\frac{1}{2})^5 => 2n - 2 = 5 => 2n = 7 => n = 3.5$$ (не целое число) 2) $$\frac{3}{64} = 3 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} => (\frac{1}{4})^{n-1} = \frac{1}{64} => (\frac{1}{4})^{n-1} = (\frac{1}{4})^3 => n - 1 = 3 => n = 4$$ (целое число) 3) $$\frac{3}{128} = 3 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} => (\frac{1}{4})^{n-1} = \frac{1}{128} => (\frac{1}{2})^{2n-2} = (\frac{1}{2})^7 => 2n - 2 = 7 => 2n = 9 => n = 4.5$$ (не целое число) 4) $$\frac{3}{254} $$ не подходит, так как в числителе должно быть 3. Ответ: 2) $$\frac{3}{64}$$