599. Последовательность (бₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите а) 6₆, если 6₁ = 125, b₃ = 5; б) 6₇, если в₁=-, b₃ = -2; в) б₁, если в₄ = -1, b₆ = -100.

a) Дано: b₁ = 125, b₃ = 5. Найти: b₆.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 * q^{n-1}$$.

В нашем случае: $$b_3 = b_1 * q^2$$

Выразим q²: $$q^2 = \frac{b_3}{b_1} = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$$

Тогда: $$q = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5}$$

Найдем b₆ для обоих значений q:

$$b_6 = b_1 * q^5 = 125 * (\frac{1}{5})^5 = 125 * \frac{1}{3125} = \frac{1}{25} = 0.04$$ (если q = $$\frac{1}{5}$$)

$$b_6 = b_1 * q^5 = 125 * (-\frac{1}{5})^5 = 125 * \frac{-1}{3125} = -\frac{1}{25} = -0.04$$ (если q = -$$\frac{1}{5}$$)

Ответ: $$\pm \frac{1}{25}$$ или $$\pm 0.04$$

---

б) К сожалению, в условии не указано значение b₁. Предположим, что b₁ = -$$\frac{2}{9}$$.

Дано: b₁ = -$$\frac{2}{9}$$, b₃ = -2. Найти: b₇.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 * q^{n-1}$$.

В нашем случае: $$b_3 = b_1 * q^2$$

Выразим q²: $$q^2 = \frac{b_3}{b_1} = \frac{-2}{-\frac{2}{9}} = \frac{-2 * 9}{-2} = 9$$

Тогда: $$q = \pm \sqrt{9} = \pm 3$$

Найдем b₇ для обоих значений q:

$$b_7 = b_1 * q^6 = -\frac{2}{9} * (3)^6 = -\frac{2}{9} * 729 = -2 * 81 = -162$$ (если q = 3)

$$b_7 = b_1 * q^6 = -\frac{2}{9} * (-3)^6 = -\frac{2}{9} * 729 = -2 * 81 = -162$$ (если q = -3)

Ответ: $$-162$$

---

в) Дано: b₄ = -1, b₆ = -100. Найти: b₁.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 * q^{n-1}$$.

В нашем случае: $$b_4 = b_1 * q^3$$ и $$b_6 = b_1 * q^5$$

Разделим b₆ на b₄: $$\frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1 * q^5}{b_1 * q^3} = q^2$$

Подставим значения: $$q^2 = \frac{-100}{-1} = 100$$

Тогда: $$q = \pm \sqrt{100} = \pm 10$$

Найдем b₁ для обоих значений q:

Если q = 10: $$b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{-1}{10^3} = \frac{-1}{1000} = -0.001$$

Если q = -10: $$b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{-1}{(-10)^3} = \frac{-1}{-1000} = \frac{1}{1000} = 0.001$$

Ответ: $$\pm 0.001$$