Последовательный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 400 пФ, катушки индуктивности 1 мГн и резистора с сопротивлением 2 Ом. Найти: коэффициент затухания, частоту затухающих колебаний в контуре; добротность контура.

Решение:

Для затухающего колебательного контура параметры определяются следующим образом:

• L = 1 мГн = 10⁻³ Гн
• C = 400 пФ = 400 * 10⁻¹² Ф = 4 * 10⁻¹⁰ Ф
• R = 2 Ом

1. Коэффициент затухания (γ):

• γ = R / (2L)
• γ = 2 Ом / (2 * 10⁻³ Гн)
• γ = 1000 с⁻¹

2. Частота свободных (незатухающих) колебаний (ω₀):

• ω₀ = 1 / sqrt(L * C)
• ω₀ = 1 / sqrt(10⁻³ Гн * 4 * 10⁻¹⁰ Ф)
• ω₀ = 1 / sqrt(4 * 10⁻¹³)
• ω₀ = 1 / (2 * 10⁻⁶.⁵)
• ω₀ = 1 / (2 * sqrt(10) * 10⁻⁶)
• ω₀ ≈ 1 / (2 * 3.162 * 10⁻⁶)
• ω₀ ≈ 1 / (6.324 * 10⁻⁶) ≈ 1.58 * 10⁵ рад/с

3. Частота затухающих колебаний (ω):

• ω = sqrt(ω₀² - γ²)
• ω = sqrt((1.58 * 10⁵)² - (1000)²)
• ω = sqrt(2.4964 * 10¹⁰ - 10⁶)
• ω ≈ sqrt(2.4964 * 10¹⁰) ≈ 1.58 * 10⁵ рад/с (так как γ² << ω₀²)

Переведем частоту затухающих колебаний в Герцы (f = ω / (2π)):

• f = (1.58 * 10⁵) / (2 * 3.14159) ≈ 0.251 * 10⁵ Гц = 25.1 кГц

4. Добротность контура (Q):

• Q = ω₀ * L / R (или Q = 1 / (2γ * T), где T = 2π/ω₀)
• Q = (1.58 * 10⁵ рад/с * 10⁻³ Гн) / 2 Ом
• Q = 158 / 2 = 79

Ответ:

• Коэффициент затухания: 1000 с⁻¹
• Частота затухающих колебаний: 25.1 кГц
• Добротность контура: 79