Построить фигуру, ограниченную графиками функций y= 2-х² и y=x и при помощи интеграла найти ее площадь.

Решение:

1. Найдем точки пересечения графиков функций:

Приравняем уравнения функций:

\( 2 - x^2 = x \)

Перенесём всё в одну сторону:

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \)

Точки пересечения имеют абсциссы \( x = -2 \) и \( x = 1 \). В этих точках \( y = -2 \) и \( y = 1 \) соответственно.

2. Определим, какая функция находится выше на интервале между точками пересечения:

Возьмём тестовую точку, например \( x = 0 \) (между -2 и 1).

Для \( y = 2 - x^2 \): \( y(0) = 2 - 0^2 = 2 \).

Для \( y = x \): \( y(0) = 0 \).

Так как \( 2 > 0 \), функция \( y = 2 - x^2 \) находится выше на интервале \( (-2; 1) \).

3. Вычислим площадь фигуры с помощью интеграла:

Площадь \( S \) вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по оси \( x \) от \( x_2 \) до \( x_1 \):

\( S = \int_{-2}^{1} ((2 - x^2) - x) dx \)

\( S = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx \)

Проинтегрируем:

\( S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} \)

Вычислим значение интеграла в верхнем и нижнем пределах:

Верхний предел (x=1):

\( 2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{12 - 3 - 2}{6} = \frac{7}{6} \)

Нижний предел (x=-2):

\( 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3} = \frac{-18 + 8}{3} = -\frac{10}{3} \)

Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

\( S = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} \)

Упростим дробь:

\( S = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Ответ: 4.5