Решите уравнение \(\sqrt[4]{x^2 + 3x} = \sqrt[4]{21 - x}\).

Решение:

Для решения уравнения \(\sqrt[4]{x^2 + 3x} = \sqrt[4]{21 - x}\), возведём обе части уравнения в четвёртую степень:

\( (\sqrt[4]{x^2 + 3x})^4 = (\sqrt[4]{21 - x})^4 \)

\( x^2 + 3x = 21 - x \)

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + 3x + x - 21 = 0 \)

\( x^2 + 4x - 21 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac \)

Здесь \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -21 \).

\( D = 4^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)

Теперь проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение, чтобы убедиться, что подкоренные выражения неотрицательны:

Для \( x = 3 \):

\( x^2 + 3x = 3^2 + 3(3) = 9 + 9 = 18 \)

\( 21 - x = 21 - 3 = 18 \)

\( \sqrt[4]{18} = \sqrt[4]{18} \) — верно.

Для \( x = -7 \):

\( x^2 + 3x = (-7)^2 + 3(-7) = 49 - 21 = 28 \)

\( 21 - x = 21 - (-7) = 21 + 7 = 28 \)

\( \sqrt[4]{28} = \sqrt[4]{28} \) — верно.

Оба корня подходят.

Ответ: 3; -7