При помощи производной исследуйте функцию f(x) = -2x³ + 3x² + 12x + 5 на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

Исследуем функцию \( f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x + 5 \) на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

1. Найдём производную функции:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x + 5) \)

\( f'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \)

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

\( -6x^2 + 6x + 12 = 0 \)

Разделим всё уравнение на -6:

\( x^2 - x - 2 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \)

Найдём корни \( x \):

\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

Интервалы: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 2) \), \( (2; +\infty) \).

Тестовая точка x = -2 (интервал \( (-\infty; -1) \)):

\( f'(-2) = -6(-2)^2 + 6(-2) + 12 = -6(4) - 12 + 12 = -24 \) (минус)

Тестовая точка x = 0 (интервал \( (-1; 2) \)):

\( f'(0) = -6(0)^2 + 6(0) + 12 = 12 \) (плюс)

Тестовая точка x = 3 (интервал \( (2; +\infty) \)):

\( f'(3) = -6(3)^2 + 6(3) + 12 = -6(9) + 18 + 12 = -54 + 30 = -24 \) (минус)

4. Определим промежутки возрастания и убывания:

Функция возрастает там, где \( f'(x) > 0 \), то есть на интервале \( (-1; 2) \).

Функция убывает там, где \( f'(x) < 0 \), то есть на интервалах \( (-\infty; -1) \) и \( (2; +\infty) \).

5. Определим точки экстремума:

В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

\( f(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) + 5 = -2(-1) + 3(1) - 12 + 5 = 2 + 3 - 12 + 5 = 5 - 12 + 5 = -7 + 5 = -2 \)

Точка минимума: \( (-1; -2) \).

В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

\( f(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) + 5 = -2(8) + 3(4) + 24 + 5 = -16 + 12 + 24 + 5 = -4 + 24 + 5 = 20 + 5 = 25 \)

Точка максимума: \( (2; 25) \).

Итог:

• Функция возрастает на интервале \( (-1; 2) \).
• Функция убывает на интервалах \( (-\infty; -1) \) и \( (2; +\infty) \).
• Точка минимума: \( (-1; -2) \).
• Точка максимума: \( (2; 25) \).