22. Постройте график функции \(y = \frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}\) Определите, при каких значениях с прямая \(y = c\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим числитель дроби:

$$x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 4)(x^2 - 9) = (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$$

Тогда функция примет вид:

$$y = \frac{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}$$

Сократим дробь:

$$y = (x-2)(x+3) = x^2 + x - 6$$

При \(x
e -2\) и \(x
e 3\)

Графиком функции является парабола с выколотыми точками \(x = -2\) и \(x = 3\).

Найдем координаты выколотых точек:

• Если \(x = -2\), то \(y = (-2)^2 + (-2) - 6 = 4 - 2 - 6 = -4\)
• Если \(x = 3\), то \(y = (3)^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6\)

Вершина параболы:

$$x_в = -\frac{1}{2}$$ $$y_в = (-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1 - 2 - 24}{4} = -\frac{25}{4} = -6.25$$

Прямая \(y = c\) имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через одну из выколотых точек.

Значения \(c\): \(-6.25, -4, 6\)

Ответ: \(c = -6.25, -4, 6\)