Постройте график функции \(y = \frac{5x+13}{5x^2+13x}\) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

• Сначала упростим функцию: \[y = \frac{5x+13}{5x^2+13x} = \frac{5x+13}{x(5x+13)}\]
• При \(5x + 13
  eq 0\), т.е. \(x
  eq -\frac{13}{5}\), можно сократить дробь: \[y = \frac{1}{x}\]
• Таким образом, графиком функции является гипербола \(y = \frac{1}{x}\) с выколотой точкой \(x = -\frac{13}{5}\). Найдем значение y в этой точке: \[y = \frac{1}{-\frac{13}{5}} = -\frac{5}{13}\] Таким образом, выколотая точка имеет координаты \(-\frac{13}{5}; -\frac{5}{13}\).
• Теперь рассмотрим прямую \(y = kx\). Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку, если она либо касается гиперболы, либо проходит через выколотую точку.
• Чтобы прямая проходила через выколотую точку, должно выполняться следующее условие: \[-\frac{5}{13} = k \cdot (-\frac{13}{5})\] Отсюда находим k: \[k = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{13}{5}} = \frac{5}{13} \cdot \frac{5}{13} = \frac{25}{169}\]
• Чтобы прямая касалась гиперболы, нужно решить уравнение \(kx = \frac{1}{x}\), которое имеет единственное решение. Это уравнение эквивалентно \(kx^2 = 1\), или \(x^2 = \frac{1}{k}\). Единственное решение будет при \(k > 0\).
• Уравнение \(kx^2 = 1\) имеет единственное решение, если \(k = 0\), но тогда прямая \(y = 0\) пересекает гиперболу в одной точке.

Result Card (Benefit + Praise)

Цифровой атлет: Уровень интеллекта: +50

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке