Точки D и R лежат на стороне KF треугольника KTF на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины K. Найдите радиус окружности, проходящей через точки D и R и касающейся луча КТ, если cos ∠TKF = \(\frac{\sqrt{15}}{4}\).

• Пусть O - центр окружности, проходящей через точки D и R и касающейся луча KT в точке T.
• Пусть r - радиус окружности.
• Поскольку окружность касается луча KT в точке T, угол между радиусом OT и касательной KT прямой: \(\angle OTK = 90^\circ\).
• Рассмотрим треугольник KTF. Известно, что KD = 8, KR = 30. Тогда DR = KR - KD = 30 - 8 = 22.
• В треугольнике ODR OD = OR = r (радиусы окружности).
• Пусть угол \(\angle DKR = \alpha\). Дано, что \(cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}\). Тогда \(sin \alpha = \sqrt{1 - cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{15}}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\).
• По теореме косинусов в треугольнике ODR: \[DR^2 = OD^2 + OR^2 - 2 \cdot OD \cdot OR \cdot cos \angle DOR\] \[22^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 cos \angle DOR\] \[484 = 2r^2 - 2r^2 cos \angle DOR\] \[242 = r^2 (1 - cos \angle DOR)\]
• \(\angle DOR = 2 \angle DKR = 2 \alpha\). Тогда \(cos \angle DOR = cos 2\alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha = (\frac{\sqrt{15}}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2 = \frac{15}{16} - \frac{1}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}\).
• Подставим найденное значение косинуса в уравнение: \[242 = r^2 (1 - \frac{7}{8})\] \[242 = r^2 (\frac{1}{8})\] \[r^2 = 242 \cdot 8 = 1936\] \[r = \sqrt{1936} = 44\]

Result Card (Benefit + Praise)

Цифровой атлет: Уровень интеллекта: +50

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке