Постройте график функции \frac{(-2x-3)(x²-3x+2)}{x²-4x+3} и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $$(-2x-3)(x^2-3x+2)$$

Квадратный трехчлен $$x^2 - 3x + 2$$ можно разложить на множители как $$(x - x_1)(x - x_2)$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни квадратного уравнения $$x^2 - 3x + 2 = 0$$:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ $$x_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Значит, числитель можно переписать как $$(-2x - 3)(x - 1)(x - 2)$$.

Разложим знаменатель на множители: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$ $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ $$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Значит, знаменатель можно переписать как $$(x - 1)(x - 3)$$.

Тогда функция имеет вид:

$$y = \frac{(-2x-3)(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-3)}$$

Сократим дробь на $$(x - 1)$$:

$$y = \frac{(-2x-3)(x-2)}{(x-3)}$$, при $$x
eq 1$$

Найдем нули числителя:

1) $$-2x - 3 = 0$$

$$-2x = 3$$ $$x = -1.5$$

2) $$x - 2 = 0$$

$$x = 2$$

Найдем вертикальные асимптоты:

$$x - 3 = 0$$Теперь можно построить график функции.

      |
      |       * (2; 0)  
------|------------------
      |    * (-1.5; 0)    
------|------------------*---  x = 3
      |

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, когда она касается графика в точке экстремума или проходит через точку разрыва.

Точка разрыва: $$x = 1$$

Найдем значение функции в точке разрыва:

$$y(1) = \frac{(-2(1)-3)(1-2)}{(1-3)} = \frac{(-2-3)(-1)}{-2} = \frac{(-5)(-1)}{-2} = -\frac{5}{2} = -2.5$$

Найдем производную функции:

$$y = \frac{(-2x-3)(x-2)}{(x-3)} = \frac{-2x^2 + 4x - 3x + 6}{x-3} = \frac{-2x^2 + x + 6}{x-3}$$ $$y' = \frac{(-4x + 1)(x - 3) - (-2x^2 + x + 6)(1)}{(x-3)^2} = \frac{-4x^2 + 12x + x - 3 + 2x^2 - x - 6}{(x-3)^2} = \frac{-2x^2 + 12x - 9}{(x-3)^2}$$

Найдем нули производной:

$$-2x^2 + 12x - 9 = 0$$ $$D = 12^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-9) = 144 - 72 = 72$$ $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-12 \pm 6\sqrt{2}}{-4} = 3 \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ $$x_1 = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 5.12$$ $$x_2 = 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 0.87$$

Найдем значения функции в точках экстремума:

$$y(3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}) = \frac{(-2(3 + \frac{3\sqrt{2}}{2})-3)(3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}-2)}{(3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}-3)} = \frac{(-6 - 3\sqrt{2}-3)(1 + \frac{3\sqrt{2}}{2})}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{(-9 - 3\sqrt{2})(1 + \frac{3\sqrt{2}}{2})}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{-9 - \frac{27\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{2} - 9}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{-18 - \frac{33\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{-36 - 33\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -21.2$$ $$y(3 - \frac{3\sqrt{2}}{2}) = \frac{(-2(3 - \frac{3\sqrt{2}}{2})-3)(3 - \frac{3\sqrt{2}}{2}-2)}{(3 - \frac{3\sqrt{2}}{2}-3)} = \frac{(-6 + 3\sqrt{2}-3)(1 - \frac{3\sqrt{2}}{2})}{-\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{(-9 + 3\sqrt{2})(1 - \frac{3\sqrt{2}}{2})}{-\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{-9 + \frac{27\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} - 9}{-\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{-18 + \frac{33\sqrt{2}}{2}}{-\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{-36 + 33\sqrt{2}}{-3\sqrt{2}} = -0.7$$

Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку при m = -2.5; m = -0.7; m = -21.2.

Ответ: -2.5; -0.7; -21.2