3. Постройте график функции f(x) = x² - 2х - 8. Используя график, найдите: 1) область значений функции; 2) промежуток возрастания функции; 3) множество решений неравенства f (x) < 0.

Рассмотрим функцию $$f(x) = x^2 - 2x - 8$$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Найдем вершину параболы:

$$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$

$$y_v = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$$

Вершина параболы: $$(1; -9)$$.

Найдем нули функции:

$$x^2 - 2x - 8 = 0$$

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}$$

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$$

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$$

$$x = \frac{2 \pm 6}{2}$$

$$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Нули функции: $$x = 4$$ и $$x = -2$$.

Построим график функции:

      ^ y
      |
      |     * (4, 0)
      |    / \
      |   /   \
------|--/-----*--------> x
      | /       \
(-2,0)*--------(1, -9) -
      |         /
      |
      v

1) Область значений функции: от вершины параболы до плюс бесконечности. Поскольку вершина параболы имеет координату y = -9, область значений функции: $$E(f) = [-9; +\infty)$$.

2) Промежуток возрастания функции: функция возрастает от вершины параболы до плюс бесконечности. Поскольку вершина параболы имеет координату x = 1, промежуток возрастания функции: $$(1; +\infty)$$.

3) Множество решений неравенства $$f(x) < 0$$: значения x, при которых график функции находится ниже оси x. Это происходит между нулями функции, то есть на интервале от -2 до 4: $$(-2; 4)$$.

Ответ: 1) $$[-9; +\infty)$$; 2) $$(1; +\infty)$$; 3) $$(-2; 4)$$.