Решение задания 3 (Вариант 1)

График функции f(x) = x² - 8x + 7 - это парабола. Найдем вершину параболы:

$$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(1)} = 4$$

$$y_v = f(4) = 4^2 - 8(4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9$$

Вершина параболы (4, -9). Так как a = 1 > 0, ветви параболы направлены вверх.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью x):

$$x^2 - 8x + 7 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(7) = 64 - 28 = 36$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 6}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 6}{2} = 1$$

Нули функции: x_1 = 7, x_2 = 1.

1) Область значений функции:

Так как ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции равно y_v = -9. Таким образом, область значений: [-9, +∞).

2) Промежуток возрастания функции:

Функция возрастает от вершины параболы до +∞. То есть, на промежутке [4, +∞).

3) Множество решений неравенства f(x) > 0:

Неравенство f(x) > 0 означает, что y > 0. Это происходит на участках графика, расположенных выше оси x. Таким образом, множество решений неравенства:

$$x \in (-\infty, 1) \cup (7, +\infty)$$