4. Постройте график функции f(x)=3x²+2x+1 и опишите её свой

Функция $$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$$ является квадратичной функцией. График - парабола.

Коэффициент при x^2 равен 3, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}$$

$$y_в = f(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2(-\frac{1}{3}) + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}$$

Вершина параболы имеет координаты $$(-\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$$.

График:

        ^
       /|
      / |
     /  |
    /   |
   /    |
--+-----+
 /     |

Свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа.
2. Область значений: $$[\frac{2}{3}; +\infty)$$.
3. Функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Функция убывает на интервале $$(-\infty; -\frac{1}{3})$$ и возрастает на интервале $$(-\frac{1}{3}; +\infty)$$.

Ответ: график и свойства функции описаны выше.