Постройте график функции у=\frac{(x+1)(x²+7x+12)}{x+3} и определите, при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию:

$$y=\frac{(x+1)(x^2+7x+12)}{x+3} = \frac{(x+1)(x+3)(x+4)}{x+3}$$

При $$x
eq -3$$ функция принимает вид $$y=(x+1)(x+4) = x^2+5x+4$$

Графиком функции является парабола с выколотой точкой при $$x=-3$$.

Найдем вершину параболы:

$$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-5}{2} = -2.5$$

$$y_в = (-2.5+1)(-2.5+4) = -1.5 \cdot 1.5 = -2.25$$

Координаты вершины параболы: $$(-2.5; -2.25)$$

Найдем значение функции в выколотой точке $$x=-3$$:

$$y(-3) = (-3+1)(-3+4) = -2 \cdot 1 = -2$$

Прямая $$y=m$$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через выколотую точку.

• $$m = -2.25$$
• $$m = -2$$

Ответ: -2.25; -2