Постройте график функции у=\frac{(x+2)(x²-x-12)}{x+3} и определите, при каких значениях т прямая у = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построим график функции $$y=\frac{(x+2)(x^2-x-12)}{x+3}$$ и определим, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Сначала разложим квадратный трехчлен на множители:

$$x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$$

Тогда функцию можно переписать так:

$$y = \frac{(x+2)(x-4)(x+3)}{x+3}$$

При $$x
eq -3$$:

$$y = (x+2)(x-4) = x^2 - 2x - 8$$

Это парабола с вершиной в точке $$x_в = \frac{-(-2)}{2} = 1$$

$$y_в = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$$

Таким образом, вершина параболы в точке (1; -9).

Также, парабола пересекает ось y в точке (0; -8).

Так как при $$x = -3$$ выражение не определено, в точке $$x = -3$$ будет выколотая точка.

Найдем значение функции в этой точке:

$$y(-3) = (-3)^2 - 2 \cdot (-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$$

Теперь рассмотрим прямую $$y = m$$. Она имеет с графиком ровно одну общую точку в двух случаях:

1. Когда прямая проходит через вершину параболы, т.е. $$m = -9$$.
2. Когда прямая проходит через выколотую точку, т.е. $$m = 7$$.

Таким образом, прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $$m = -9$$ и $$m = 7$$.

График функции:

      7 |       o
        |
        |
        |
        |
        |
        |
        |
 -9 ----+-------
        |

Ответ: -9; 7