22. Постройте график функции у=3|x+7|-x2-13x-42 и определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно три общие точки.

22. Рассмотрим функцию $$y = 3|x+7| - x^2 - 13x - 42$$. Преобразуем выражение для $$y$$:

$$y = 3|x+7| - (x^2 + 13x + 42)$$

Заметим, что $$x^2 + 13x + 42 = (x+6)(x+7)$$. Тогда

$$y = 3|x+7| - (x+6)(x+7)$$

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x \geq -7$$, то $$|x+7| = x+7$$. Тогда $$y = 3(x+7) - (x+6)(x+7) = (x+7)(3 - (x+6)) = (x+7)(-x-3) = -(x+7)(x+3)$$
2. Если $$x < -7$$, то $$|x+7| = -(x+7)$$. Тогда $$y = -3(x+7) - (x+6)(x+7) = (x+7)(-3 - (x+6)) = (x+7)(-x-9) = -(x+7)(x+9)$$

Таким образом,

$$y = \begin{cases} -(x+7)(x+3), & x \geq -7 \\ -(x+7)(x+9), & x < -7 \end{cases}$$

В первом случае $$y = -(x+7)(x+3)$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-7-3}{2} = -5$$, $$y_v = -(-5+7)(-5+3) = -2 \cdot (-2) = 4$$. Пересечение с осью Ох при $$x = -7$$ и $$x = -3$$.

Во втором случае $$y = -(x+7)(x+9)$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-7-9}{2} = -8$$, $$y_v = -(-8+7)(-8+9) = -(-1)(1) = 1$$. Пересечение с осью Ох при $$x = -7$$ и $$x = -9$$.

Совместим оба графика:

      |   /\
      |  /  \
  1 --+ /   \
      |/    \
------+-------+-------
     -9    -8   -7
      |       /   \
  4 --+------/-----
      |    /   \
      |   /    

Для построения графиков и диаграмм используется Chart.js.В данном случае построить график не получится.

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком три общие точки, когда она проходит либо через вершину одной из парабол, либо через точку с координатой $$x=-7$$. Таким образом, $$m = 1$$ или $$m = 4$$ или $$m = 0$$

Ответ: 0, 1, 4