22. Постройте график функции у = \$$\frac{1}{2}(\frac{|x|}{2,5} - \frac{2,5}{|x|})\$$. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Рассмотрим функцию $$y = \frac{1}{2} \left( \frac{|x|}{2.5} - \frac{2.5}{|x|} \right)$$.

Если x > 0, то $$y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2.5} - \frac{2.5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{5/2} - \frac{5/2}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2x}{5} - \frac{5}{2x} \right) = \frac{2x}{10} - \frac{5}{4x} = \frac{x}{5} - \frac{5}{4x}$$.

Если x < 0, то $$y = \frac{1}{2} \left( \frac{-x}{2.5} - \frac{2.5}{-x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-x}{5/2} + \frac{5/2}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-2x}{5} + \frac{5}{2x} \right) = -\frac{x}{5} + \frac{5}{4x}$$.

Исследуем функцию при x > 0: $$y = \frac{x}{5} - \frac{5}{4x}$$.

Производная: $$y' = \frac{1}{5} + \frac{5}{4x^2}$$. Поскольку y' > 0 при всех x > 0, функция возрастает на (0, +$$\infty\$$).

При x → 0+, y → -$$\infty\$$.

При x → +$$\infty\$$, y → +$$\infty\$$.

Исследуем функцию при x < 0: $$y = -\frac{x}{5} + \frac{5}{4x}$$.

Производная: $$y' = -\frac{1}{5} - \frac{5}{4x^2}$$. Поскольку y' < 0 при всех x < 0, функция убывает на (-$$\infty\$$, 0).

При x → 0-, y → +$$\infty\$$.

При x → -$$\infty\$$, y → +$$\infty\$$.

Найдем точку минимума при x > 0:

$$y' = \frac{1}{5} + \frac{5}{4x^2} = 0$$

$$\frac{5}{4x^2} = -\frac{1}{5}$$

$$x^2 = -\frac{25}{4}$$

Это уравнение не имеет решений.

Найдем точку максимума при x < 0:

$$y' = -\frac{1}{5} - \frac{5}{4x^2} = 0$$

$$-\frac{5}{4x^2} = \frac{1}{5}$$

$$x^2 = -\frac{25}{4}$$

Это уравнение не имеет решений.

Найдем точку, в которой $$y' = \frac{1}{5} + \frac{5}{4x^2} = 0$$. Это не имеет решений для x > 0.

Рассмотрим точку x = 2.5. Тогда $$y = \frac{1}{2} (1 - 1) = 0$$.

$$\frac{x}{5} - \frac{5}{4x} = t$$

График функции:

Прямая y = t имеет с графиком ровно одну общую точку при t = 0.

Ответ: 0