Постройте график функции у = х²+2,5x-2,5|x+2|+1. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 + 2.5x - 2.5|x+2| + 1$$. Для того, чтобы построить график данной функции, необходимо рассмотреть два случая:

1. Если $$x \ge -2$$, то $$|x+2| = x+2$$. Тогда функция примет вид: $$y = x^2 + 2.5x - 2.5(x+2) + 1 = x^2 + 2.5x - 2.5x - 5 + 1 = x^2 - 4$$ Таким образом, $$y = x^2 - 4$$ при $$x \ge -2$$.
2. Если $$x < -2$$, то $$|x+2| = -(x+2) = -x - 2$$. Тогда функция примет вид: $$y = x^2 + 2.5x - 2.5(-x-2) + 1 = x^2 + 2.5x + 2.5x + 5 + 1 = x^2 + 5x + 6$$ Таким образом, $$y = x^2 + 5x + 6$$ при $$x < -2$$.

Теперь опишем график функции: $$y = \begin{cases} x^2 - 4, & x \ge -2 \\ x^2 + 5x + 6, & x < -2 \end{cases}$$ Графиком является кусочно-параболическая функция.

• При $$x \ge -2$$ это парабола $$y = x^2 - 4$$, с вершиной в точке $$(0, -4)$$.
• При $$x < -2$$ это парабола $$y = x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$$, с вершиной в точке $$(-2.5, -0.25)$$.

Найдем значения функции в точке стыка $$x = -2$$: $$y(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$$ (для первого случая). $$y(-2) = (-2)^2 + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$ (для второго случая). Так что функция непрерывна в точке $$x = -2$$.

Прямая $$y = m$$ является горизонтальной прямой. Для того, чтобы прямая имела с графиком ровно три общие точки, она должна проходить либо через вершину параболы $$y = x^2 - 4$$, либо касаться параболы $$y = x^2 + 5x + 6$$.

1. Если $$y = m$$ проходит через вершину параболы $$y = x^2 - 4$$, то $$m = -4$$. В этом случае прямая пересекает параболу $$y = x^2 - 4$$ в одной точке (вершина) и параболу $$y = x^2 + 5x + 6$$ в двух точках.
2. Если $$y = m$$ проходит через вершину параболы $$y = x^2 + 5x + 6$$, то $$m = -0.25 = -\frac{1}{4}$$. Тогда $$y = x^2+5x+6$$ имеет одну точку пересечения с прямой $$y = -0.25$$. Парабола $$y = x^2-4$$ имеет две точки пересечения с прямой $$y = -0.25$$.

Таким образом, прямая $$y=m$$ имеет ровно три общие точки с графиком при $$m = -4$$ и при $$m = -0.25$$.

Ответ: $$-4; -0.25$$