2. Постройте график функции у = х²-2x-8. Найдите с помощью графика: а) значение у при х = −1,5; б) значения х, при которых у = 3; в) нули функции; г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0; д) промежуток, в котором функция возрастает.

2. Рассмотрим функцию $$y = x^2 - 2x - 8$$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ равен 1 и больше нуля.

Найдем координаты вершины параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 cdot 1} = 1$$. $$y_v = 1^2 - 2 cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$$. Вершина параболы в точке (1, -9).

a) Значение y при x = -1,5:

Подставим x = -1,5 в уравнение параболы: $$y = (-1.5)^2 - 2(-1.5) - 8 = 2.25 + 3 - 8 = -2.75$$.

б) Значения x, при которых y = 3:

Решим уравнение $$x^2 - 2x - 8 = 3$$. $$x^2 - 2x - 11 = 0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-11) = 4 + 44 = 48$$.

Найдем корни: $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{48}}{2} = \frac{2 + 4\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3} \approx 4.46$$ и $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{48}}{2} = \frac{2 - 4\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sqrt{3} \approx -2.46$$.

в) Нули функции:

Нули функции - это значения x, при которых y = 0. Решим уравнение $$x^2 - 2x - 8 = 0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$.

Найдем корни: $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$ и $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$.

г) Промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0:

y > 0 при $$x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$$.

y < 0 при $$x \in (-2; 4)$$.

д) Промежуток, в котором функция возрастает:

Функция возрастает на промежутке $$(1; +\infty)$$.