Постройте график функции у = х²+2,5x-2,5x+2+1. Определите, при каких значениях т прямая ут имеет с графиком ровно три общие точки.

Сначала упростим функцию:

$$y = x^2 + 2.5|x-1| + 1$$

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x \geq 1$$, то $$|x-1| = x-1$$ и функция имеет вид:
$$y = x^2 + 2.5(x-1) + 1 = x^2 + 2.5x - 2.5 + 1 = x^2 + 2.5x - 1.5$$
2. Если $$x < 1$$, то $$|x-1| = -(x-1) = 1-x$$ и функция имеет вид:
$$y = x^2 + 2.5(1-x) + 1 = x^2 - 2.5x + 2.5 + 1 = x^2 - 2.5x + 3.5$$

Теперь построим график этой функции. График состоит из двух парабол, соединенных в точке x=1.

Найдём вершину первой параболы (x ≥ 1):

$$x_v = -\frac{2.5}{2 \cdot 1} = -1.25$$

Но так как $$x \geq 1$$, то вершина не входит в рассматриваемый интервал.

Найдём значение функции в точке x=1:

$$y(1) = 1^2 + 2.5(1) - 1.5 = 1 + 2.5 - 1.5 = 2$$

Найдём вершину второй параболы (x < 1):

$$x_v = \frac{2.5}{2 \cdot 1} = 1.25$$

Но так как $$x < 1$$, то вершина не входит в рассматриваемый интервал.

Найдём значение функции в точке x=1:

$$y(1) = 1^2 - 2.5(1) + 3.5 = 1 - 2.5 + 3.5 = 2$$

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки. Это возможно, когда прямая y = m касается одной из парабол и пересекает другую. Однако, судя по условию, функция y = x²+2,5x-2,5|x|+2+1, а значит $$y = x^2 + 2.5|x| + 3$$

Тогда если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$ и функция имеет вид: $$y = x^2 + 2.5x + 3$$

Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$ и функция имеет вид: $$y = x^2 - 2.5x + 3$$

Найдём вершину первой параболы (x ≥ 0):$$x_v = -\frac{2.5}{2 \cdot 1} = -1.25$$

Найдём вершину второй параболы (x < 0):$$x_v = \frac{2.5}{2 \cdot 1} = 1.25$$

И в том и другом случае вершины параболы не удовлетворяют условию. И в точке x = 0 $$y(0) = 3$$. И, следовательно, прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки, если m = 3.

Ответ: 3