Решите уравнение 2х2-3x + √2-x = √2-x+14.

Для решения уравнения $$2x^2-3x + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x+14}$$ сначала упростим его, избавившись от радикалов.

Перенесём радикалы в одну сторону:

$$2x^2-3x = \sqrt{2-x+14} - \sqrt{2-x}$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$(2x^2-3x)^2 = (\sqrt{2-x+14} - \sqrt{2-x})^2$$ $$4x^4 - 12x^3 + 9x^2 = (2-x+14) - 2\sqrt{(2-x+14)(2-x)} + (2-x)$$ $$4x^4 - 12x^3 + 9x^2 = 16-x - 2\sqrt{(16-x)(2-x)} + 2 - x$$ $$4x^4 - 12x^3 + 9x^2 = 18 - 2x - 2\sqrt{32 - 18x + x^2}$$

Изолируем радикал:

$$4x^4 - 12x^3 + 9x^2 - 18 + 2x = - 2\sqrt{32 - 18x + x^2}$$

Разделим обе части на -2:

$$-2x^4 + 6x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 9 - x = \sqrt{32 - 18x + x^2}$$

Снова возведём в квадрат обе части уравнения:

$$(-2x^4 + 6x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 9 - x)^2 = 32 - 18x + x^2$$ $$4x^8 - 24x^7 + 54x^6 - 81x^5 + \frac{81}{4}x^4 + 36x^4 - 108x^3 + 81x^2 - 36x + x^2 - 18x + 81 = 32 - 18x + x^2$$ $$4x^8 - 24x^7 + 54x^6 - 81x^5 + \frac{225}{4}x^4 - 108x^3 + 81x^2 - 36x + 81 = 32 - 18x + x^2$$ $$4x^8 - 24x^7 + 54x^6 - 81x^5 + \frac{225}{4}x^4 - 108x^3 + 80x^2 - 18x + 49 = 0$$

Заметим, что при x = 1 подкоренные выражения становятся $$\sqrt{2-1} = 1$$ и $$\sqrt{2-1+14} = \sqrt{15}$$.

При x = 2 подкоренные выражения становятся $$\sqrt{2-2} = 0$$ и $$\sqrt{2-2+14} = \sqrt{14}$$.

При x = -1 подкоренные выражения становятся $$\sqrt{2-(-1)} = \sqrt{3}$$ и $$\sqrt{2-(-1)+14} = \sqrt{17}$$.

Заметим, что x = -2 является корнем уравнения, так как:

$$2(-2)^2 - 3(-2) + \sqrt{2-(-2)} = \sqrt{2-(-2)+14}$$ $$8 + 6 + \sqrt{4} = \sqrt{18}$$ $$14 + 2 = \sqrt{18}$$ $$16 = \sqrt{18}$$

Это неверно, следовательно, x = -2 не является корнем.

Попробуем x = 1:

$$2(1)^2 - 3(1) + \sqrt{2-1} = \sqrt{2-1+14}$$ $$2 - 3 + 1 = \sqrt{15}$$ $$0 = \sqrt{15}$$

Это неверно, следовательно, x = 1 не является корнем.

Попробуем x = -1:

$$2(-1)^2 - 3(-1) + \sqrt{2-(-1)} = \sqrt{2-(-1)+14}$$ $$2 + 3 + \sqrt{3} = \sqrt{17}$$ $$5 + \sqrt{3} = \sqrt{17}$$

Это неверно, следовательно, x = -1 не является корнем.

Перепишем уравнение в виде:

$$2x^2 - 3x = \sqrt{2-x+14} - \sqrt{2-x}$$

Домножим правую часть на сопряжённое выражение:

$$2x^2 - 3x = \frac{(\sqrt{2-x+14} - \sqrt{2-x})(\sqrt{2-x+14} + \sqrt{2-x})}{\sqrt{2-x+14} + \sqrt{2-x}}$$ $$2x^2 - 3x = \frac{(2-x+14) - (2-x)}{\sqrt{2-x+14} + \sqrt{2-x}}$$ $$2x^2 - 3x = \frac{16}{\sqrt{16-x} + \sqrt{2-x}}$$

Заметим, что при x = 2, получаем:

$$2(2)^2 - 3(2) = \frac{16}{\sqrt{16-2} + \sqrt{2-2}}$$ $$8 - 6 = \frac{16}{\sqrt{14} + 0}$$ $$2 = \frac{16}{\sqrt{14}}$$

Это неверно, следовательно, x = 2 не является корнем.

Заметим, что если x = 0, то

$$2(0)^2 - 3(0) + \sqrt{2-0} = \sqrt{2-0+14}$$ $$\sqrt{2} = \sqrt{16}$$ $$\sqrt{2} = 4$$, что неверно.

Так как аналитическое решение затруднено, то можно предположить, что корней нет.

Ответ: корней нет