6. Постройте график функции у = 2x²+5x x²-9 x-3

Построим график функции $$y = \frac{2x^2+5x}{x} - \frac{x^2-9}{x-3}$$.

1. Область определения функции. $$x
eq 0$$ и $$x-3
eq 0$$, следовательно, $$x
eq 3$$.

2. Упростим выражение для функции:

$$y = \frac{2x^2+5x}{x} - \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{x(2x+5)}{x} - \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = 2x+5 - (x+3) = 2x+5 - x - 3 = x+2$$ Итак, $$y = x+2$$, где $$x
eq 0$$ и $$x
eq 3$$.

3. График функции: прямая $$y = x+2$$ с выколотыми точками в $$x = 0$$ и $$x = 3$$.

Если $$x = 0$$, то $$y = 0 + 2 = 2$$. Выколотая точка (0; 2). Если $$x = 3$$, то $$y = 3 + 2 = 5$$. Выколотая точка (3; 5).

Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем, например, точки (-2; 0) и (1; 3).

      |
      |    (3; 5) - выколотая
      |   /        
      |  /          
      | /     (1; 3)
------|/---------
      |(-2;0)   
      |          (0;2) - выколотая
      |

Ответ: График функции: прямая $$y = x+2$$ с выколотыми точками (0; 2) и (3; 5).