22. Постройте график функции у = x^4 - 13x^2 + 36/(x - 3)(x + 2) Определите, при каких значениях с прямая у = с имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Упростим функцию: \[y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x - 3)(x + 2)}\] \[y = \frac{(x^2 - 4)(x^2 - 9)}{(x - 3)(x + 2)}\] \[y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}\] Если x ≠ 3 и x ≠ -2, то \[y = (x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6\] Таким образом, графиком функции является парабола y = x^2 + x - 6 с выколотыми точками при x = -2 и x = 3.

2. Найдем вершину параболы: \[x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}\] \[y_в = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1 - 2 - 24}{4} = -\frac{25}{4} = -6.25\] Вершина параболы: (-0.5; -6.25)

3. Найдем значения y в выколотых точках: \[y(-2) = (-2)^2 + (-2) - 6 = 4 - 2 - 6 = -4\] \[y(3) = (3)^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6\] Выколотые точки: (-2; -4) и (3; 6)

4. Анализ: Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через выколотую точку (-2; -4) или является касательной к параболе в вершине (или проходит через выколотую точку (3; 6)).

5. Найдем значения c: \[c = -4\] Прямая y = c касается параболы в вершине, если c = -6.25. Но в данном случае нужно учесть, что нам нужно только одно пересечение. Так как график представляет собой параболу с выколотыми точками, прямая y = c будет иметь ровно одну общую точку, если она проходит через эти выколотые точки или является касательной.

6. Дополнительные случаи: При c = -4, прямая y = -4 проходит через выколотую точку (-2; -4) и имеет только одну общую точку с графиком (все остальные точки параболы лежат выше этой прямой). При c = 6, прямая y = 6 проходит через точку (3;6)

7. Построим график функции (интерактивный график строится на координатной плоскости).

8. Определите, при каких значениях с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку: c = -4 (выколотая точка)

9. Также нужно найти такие c, при которых получается одна точка пересечения с параболой без выколотых точек. Для этого необходимо, чтобы дискриминант уравнения x^2 + x - 6 = c был равен нулю. x^2 + x - 6 - c = 0 D = 1 - 4 * 1 * (-6 - c) = 1 + 24 + 4c = 25 + 4c 25 + 4c = 0 4c = -25 c = -6.25 (но это вершина параболы, и здесь бесконечное множество точек) c = 6

Найдем значения c, при которых прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку: c = -4, c = -25/4 - не подходит так как точка будет вершиной параболы

10. Проверим другие возможные значения c: Если y = 0, то x^2 + x - 6 = 0, корни x = 2 и x = -3. Тогда c = 0. Если y = 20, то x^2 + x - 6 = 20, x^2 + x - 26 = 0 D = 1 + 4 * 26 = 105. Не подходит так как 2 корня.

11. Проверим еще раз y = -4, ((-2)^2 - 13(-2)^2 + 36)/((-2-3)(-2+2)) = -4 (одна общая точка) y = -6.25

Финальный ответ: c = -4, c = 0 и с = 20