20. Решите неравенство 12/x^2-7x-8 ≤ 0

Решение:

1. Приведем неравенство к виду, удобному для решения методом интервалов: \[\frac{12}{x^2 - 7x - 8} \le 0\]

2. Найдем корни знаменателя, решив квадратное уравнение: \[x^2 - 7x - 8 = 0\] Дискриминант: D = (-7)^2 - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81 Корни: x_1 = \(\frac{7 - 9}{2}\) = -1, x_2 = \(\frac{7 + 9}{2}\) = 8

3. Определим интервалы и знаки функции на этих интервалах. Знаменатель должен быть отрицательным, так как числитель положителен. Интервалы: (-∞; -1), (-1; 8), (8; +∞) Знаки: x^2 - 7x - 8 < 0

4. Определим знак квадратного трехчлена на каждом интервале: На интервале (-∞; -1): подставим x = -2. (-2)^2 - 7*(-2) - 8 = 4 + 14 - 8 = 10 > 0 На интервале (-1; 8): подставим x = 0. 0^2 - 7*0 - 8 = -8 < 0 На интервале (8; +∞): подставим x = 9. 9^2 - 7*9 - 8 = 81 - 63 - 8 = 10 > 0

5. Решением неравенства является интервал, где знаменатель отрицателен, то есть (-1; 8), но так как неравенство нестрогое, нужно исключить точки, где знаменатель равен нулю, то есть x ≠ -1 и x ≠ 8.

6. Объединяем интервалы: (-∞; -1) ∪ (8; +∞)