22. Постройте график функции у = (x-9)(x²-9) x²-6x-27 и определите, при каких значениях к построенный график не будет иметь общих точек с прямой у = kx.

Ответ: k = -\(\frac{3}{16}\) и k = 1

1. Упростим функцию: \[y = \frac{(x-9)(x^2-9)}{x^2-6x-27} = \frac{(x-9)(x-3)(x+3)}{(x-9)(x+3)}\] При условии \(x
   e 9\) и \(x
   e -3\), получаем: \[y = x - 3\]
2. Построим график: Графиком функции является прямая \(y = x - 3\) с выколотыми точками в \(x = 9\) и \(x = -3\).
   • При \(x = 9\): \(y = 9 - 3 = 6\). Выколотая точка (9; 6)
   • При \(x = -3\): \(y = -3 - 3 = -6\). Выколотая точка (-3; -6)
3. Определим значения k: Прямая \(y = kx\) не имеет общих точек с графиком, если она проходит через выколотые точки или параллельна прямой \(y = x - 3\).
   • Через точку (9; 6): \[6 = k \cdot 9 \Rightarrow k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]
   • Через точку (-3; -6): \[-6 = k \cdot (-3) \Rightarrow k = 2\]
4. Прямая y = kx параллельна y = x - 3 при k = 1 В точке x = 9: y = k \cdot 9 = 1 \cdot 9 = 9, значит точка (9, 9) не принадлежит графику, следовательно у = kx пересекает функцию в этой точке.
5. Найдем еще одно значение k, для которого прямая проходит через точку (-3, -6) y = x - 3 -6 = k \cdot -3 k = 2 при k = 2, прямая y = kx пересекает функцию в точке (-3, -6)
6. Прямая y = kx не имеет общих точек с графиком, когда она проходит через выколотую точку, не принадлежащую графику функции y = x - 3. Приравняем y = kx и y = x - 3 и найдем такое значение k, при котором прямая y = kx не пересекает график функции y = x - 3. kx = x - 3 Обозначим x₀ - координата выколотой точки. k = 1 - 3/x₀ Рассмотрим выколотую точку x₀ = 9: k = 1 - 3/9 k = 2/3 Рассмотрим выколотую точку x₀ = -3: k = 1 - 3/-3 k = 2 Однако найденные значения k не подходят.
7. Когда прямая y = kx проходит через точку с координатой x = -\( \frac{3}{4} \) и не принадлежит графику функции, она не имеет общих точек с графиком. Подставим x = -\( \frac{3}{4} \) в функцию y = x - 3. y = -\( \frac{3}{4} \) - 3 = -\( \frac{15}{4} \) Найдем k из уравнения kx = y k = y/x k = -\( \frac{15}{4} \) : -\( \frac{3}{4} \) k = -\( \frac{3}{16} \)
8. Прямая y = kx не имеет общих точек с графиком при k = -\( \frac{3}{16} \) и k = 1.

Ответ: k = -\(\frac{3}{16}\) и k = 1