24. В параллелограмме ABCD точки Е, Е, К и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причем АЕ = СК, BF = DM. Докажите, что EFKM — па- раллелограмм.

Ответ: Доказано, что EFKM — параллелограмм.

1. Дано:
   • ABCD - параллелограмм
   • AE = CK
   • BF = DM
2. Доказать: EFKM - параллелограмм
3. Доказательство:
   • Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD и BC = AD.
   • AE = CK и BF = DM по условию.
   • Тогда EB = AB - AE и KD = CD - CK. Так как AB = CD и AE = CK, то EB = KD.
   • Аналогично, FC = BC - BF и AM = AD - DM. Так как BC = AD и BF = DM, то FC = AM.
   • Рассмотрим треугольники AE M и CFK. В них:
     • AE = CK (по условию)
     • AM = FC (доказано)
     • ∠A = ∠C (как противоположные углы параллелограмма)
     Следовательно, треугольники AEM и CFK равны по двум сторонам и углу между ними (SAS).
   • Из равенства треугольников следует, что EM = FK.
   • Аналогично доказывается равенство треугольников EBF и KDM. В них:
     • EB = KD (доказано)
     • BF = DM (по условию)
     • ∠B = ∠D (как противоположные углы параллелограмма)
     Следовательно, треугольники EBF и KDM равны по двум сторонам и углу между ними (SAS).
   • Из равенства треугольников следует, что EF = KM.
   • Итак, в четырехугольнике EFKM противоположные стороны равны: EM = FK и EF = KM.
   • Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то это параллелограмм.
   • Следовательно, EFKM - параллелограмм.
4. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что EFKM — параллелограмм.