22. Постройте график функции y=\begin{cases}x^2+4x+4, если x\geq-3, \\ \frac{3}{x}, если x<-3.\end{cases} Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну общую точки.

Решение задания 22

Рассмотрим функцию:

1. При x \geq -3, функция y = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2. Это парабола с вершиной в точке (-2, 0). Так как x \geq -3, рассмотрим часть параболы на этом интервале.

2. При x < -3, функция y = \frac{3}{x}. Это гипербола. Рассмотрим часть гиперболы на этом интервале.

3. Найдем значение первой функции при x = -3:

y = (-3 + 2)^2 = (-1)^2 = 1.

4. Найдем предел второй функции при x, стремящемся к -3 слева:

y = \frac{3}{-3} = -1.

5. Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну общую точку.

• Прямая y = 0 имеет одну общую точку с графиком (вершина параболы).
• Прямая y = 1 имеет одну общую точку с графиком (точка (-3, 1) на параболе).

Ответ: m = 0 и m = 1.

Проверка за 10 секунд: Строим график кусочной функции и горизонтальные прямые y=0 и y=1. Видим, что каждая из этих прямых пересекает график ровно в одной точке.

Уровень Эксперт: Графический метод позволяет наглядно увидеть точки пересечения. Важно точно определить значения функций на границах интервалов.