24. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Т. Докажите, что сумма площадей треугольников ВТС и ATD равна половине площади параллелограмма.

Решение задания 24

Пусть ABCD - параллелограмм, T - произвольная точка внутри него. Нужно доказать, что S_BTC + S_ATD = 1/2 S_ABCD.

1. Проведем высоту BH к стороне AD и высоту TF к стороне AD в треугольнике ATD. Тогда площадь треугольника ATD равна:

S_ATD = (1/2) * AD * TF.

2. Проведем высоту TG к стороне BC в треугольнике BTC. Тогда площадь треугольника BTC равна:

S_BTC = (1/2) * BC * TG.

3. Так как ABCD - параллелограмм, AD = BC. Поэтому S_BTC = (1/2) * AD * TG.

4. Сумма площадей треугольников BTC и ATD равна:

S_BTC + S_ATD = (1/2) * AD * TG + (1/2) * AD * TF = (1/2) * AD * (TG + TF).

5. Заметим, что TG + TF - это сумма расстояний от точки T до сторон AD и BC. Так как AD и BC - параллельные стороны параллелограмма, то сумма этих расстояний равна высоте параллелограмма BH.

TG + TF = BH.

6. Тогда S_BTC + S_ATD = (1/2) * AD * BH.

7. Площадь параллелограмма ABCD равна:

S_ABCD = AD * BH.

8. Следовательно, S_BTC + S_ATD = (1/2) * S_ABCD.

Доказано.

Проверка за 10 секунд: Рисуем параллелограмм и произвольную точку внутри, соединяем точку с вершинами и используем формулы площадей.

Запомни: Сумма расстояний от произвольной точки внутри параллелограмма до параллельных сторон равна высоте.