Постройте график функции $$y = |x|(x - 2) - 4x$$ и определите, при каких значениях $$b$$ прямая $$y = b$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Разберем функцию $$y = |x|(x-2) - 4x$$ на два случая: **Случай 1: $$x \geq 0$$** Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид: $$y = x(x - 2) - 4x = x^2 - 2x - 4x = x^2 - 6x$$ Это парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы найти вершину параболы, используем формулу $$x_в = - \frac{b}{2a}$$: $$x_в = -\frac{-6}{2*1} = 3$$ $$y_в = 3^2 - 6*3 = 9 - 18 = -9$$ Вершина параболы: (3, -9). **Случай 2: $$x < 0$$** Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид: $$y = -x(x-2) - 4x = -x^2 + 2x - 4x = -x^2 - 2x$$ Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы: $$x_в = -\frac{-2}{2*(-1)} = -1$$ $$y_в = -(-1)^2 - 2*(-1) = -1 + 2 = 1$$ Вершина параболы: (-1, 1). Теперь построим график функции. При $$x=0$$, $$y = 0$$. Прямая $$y=b$$ будет иметь с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину одной из парабол или если она касается графика в одной из точек. Из анализа графиков видно, что прямая $$y = b$$ будет иметь две общие точки: 1. Когда $$y = 1$$ (прямая проходит через вершину параболы $$x < 0$$) 2. Когда $$y = -9$$ (прямая проходит через вершину параболы $$x \ge 0$$). **Ответ:** Прямая $$y = b$$ имеет с графиком ровно две общие точки при $$b = 1$$ и $$b = -9$$.