17. Постройте график функции $$y = \frac{3x+5}{3x^2 + 5x}$$ и определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Сначала упростим функцию:

$$y = \frac{3x+5}{x(3x + 5)}$$

При $$3x+5
eq 0$$, т.е. при $$x
eq -\frac{5}{3}$$ можно сократить:

$$y = \frac{1}{x}$$, где $$x
eq -\frac{5}{3}$$

Таким образом, графиком является гипербола $$y = \frac{1}{x}$$ с выколотой точкой.

Прямая $$y = kx$$ проходит через начало координат. Чтобы найти точки пересечения, решим уравнение:

$$\frac{1}{x} = kx$$

$$1 = kx^2$$

$$kx^2 = 1$$

$$x^2 = \frac{1}{k}$$

Для того, чтобы было ровно одно решение, необходимо, чтобы $$k > 0$$. Тогда $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}}$$.

Но нужно исключить случай, когда $$x = -\frac{5}{3}$$:

$$y(-\frac{5}{3}) = \frac{1}{-\frac{5}{3}} = -\frac{3}{5}$$

Прямая $$y = kx$$ должна проходить через эту точку:

$$- \frac{3}{5} = k \cdot (-\frac{5}{3})$$

$$k = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$$

Таким образом, чтобы прямая $$y = kx$$ имела с графиком ровно одну общую точку, нужно, чтобы $$k > 0$$ и $$k
eq \frac{9}{25}$$.

Ответ: $$k > 0, k
eq \frac{9}{25}$$