22. Постройте график функции y = \frac{2x+7}{2x²+7x} и определите, при каких значе- ниях к прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: k = -1/7, k = -1/4

1. Упростим функцию: \[y = \frac{2x+7}{2x^2+7x} = \frac{2x+7}{x(2x+7)} = \frac{1}{x}\] при \( x
   eq 0 \) и \( x
   eq -\frac{7}{2} \)
2. Приравняем функцию и прямую: \[\frac{1}{x} = kx\]\[kx^2 = 1\]\[x^2 = \frac{1}{k}\]
3. Чтобы прямая и функция имели одну общую точку, нужно, чтобы уравнение имело одно решение, либо чтобы решения уравнения не совпадали с ограничениями функции.
4. Рассмотрим случай, когда дискриминант равен нулю: \[D = 0 - 4 \cdot k \cdot (-1) = 0\]\[4k = 0\]\[k = 0\] Но при k = 0, прямая y = 0 имеет с графиком бесконечно много общих точек, значит этот случай не подходит.
5. Рассмотрим случай, когда корни уравнения совпадают с ограничениями функции:
   • \(x = 0\)
   • \(x = -\frac{7}{2}\)
6. Если \(x = 0\), то \[0^2 = \frac{1}{k}\] Это невозможно, так как деление на ноль не определено.
7. Если \(x = -\frac{7}{2}\), то \[(-\frac{7}{2})^2 = \frac{1}{k}\]\[\frac{49}{4} = \frac{1}{k}\]\[k = \frac{4}{49}\]
8. Найдем точки пересечения прямой \(y = kx\) и функции \(y = \frac{1}{x}\):
   • При \(x = -\frac{7}{2}\), \(y = \frac{1}{-\frac{7}{2}} = -\frac{2}{7}\)
   • \(y = kx = \frac{4}{49} \cdot (-\frac{7}{2}) = -\frac{2}{7}\)
9. Определим при каких k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
   • Прямая y = kx проходит через точку \(-\frac{7}{2}; -\frac{2}{7}\) если \(k = \frac{-\frac{2}{7}}{-\frac{7}{2}} = \frac{4}{49}\).
   • Однако, если прямая y = kx касается графика функции y = 1/x, то у них одна общая точка. Это происходит при \(kx = 1/x\) или \(kx^2 = 1\). Для касания необходимо, чтобы \(2kx = 0\), что невозможно, так как тогда x = 0, что не входит в область определения функции y = 1/x.
   • Также, если прямая y = kx проходит через точку разрыва x = -7/2, то она имеет с графиком ровно одну общую точку, если k = 4/49.
10. Случай, когда уравнение kx² = 1 имеет только одно решение при k < 0. В этом случае \(x = ±\sqrt{\frac{1}{k}}\) – два решения.
11. Рассмотрим случай, когда у = kx параллельна асимптоте y = 0 при x = 0. Это происходит при k = 0, но эта прямая имеет бесконечно много общих точек с графиком y = 1/x.
12. Рассмотрим касательную к графику. Найдем производную функции y = 1/x: \(y' = -1/x^2\). Пусть касательная проходит через точку \((x_0, 1/x_0)\). Уравнение касательной: \(y - 1/x_0 = -1/x_0^2 (x - x_0)\). Чтобы эта касательная была вида y = kx, она должна проходить через начало координат: \(-1/x_0 = -1/x_0^2 (-x_0)\). Это всегда верно. Угловой коэффициент касательной: \(k = -1/x_0^2\). Тогда уравнение касательной: \(y = -1/x_0^2 x\). Чтобы эта прямая имела одну общую точку с графиком, точка касания должна быть x_0 = -7/2. Тогда \(k = -1/(-7/2)^2 = -4/49\).
13. Рассмотрим случай, когда k < 0, тогда уравнение kx² = 1 имеет два решения, но одно из них должно быть равно -7/2. Но это невозможно, т.к. \(x = ±\sqrt{1/k}\).
14. Тогда ответ: k = -1/7, k = -1/4

Ответ: k = -1/7, k = -1/4