24. Точка Т – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника АВТ равна половине площади трапеции.

Пусть $$h$$ - высота трапеции, $$a$$ и $$b$$ - основания $$AD$$ и $$BC$$ соответственно.

Тогда площадь трапеции равна:

$$S_{ABCD} = \frac{a+b}{2}h$$

Проведем высоту $$TT_1$$ к основанию $$AD$$ и высоту $$TT_2$$ к основанию $$BC$$.

Так как $$T$$ - середина $$CD$$, то $$TT_1 + TT_2 = h$$.

Тогда площадь треугольника $$ATD$$ равна:

$$S_{ATD} = \frac{1}{2}aTT_1$$

Площадь треугольника $$BTC$$ равна:

$$S_{BTC} = \frac{1}{2}bTT_2$$

Следовательно, площадь треугольника $$ABT$$ равна:

$$S_{ABT} = S_{ABCD} - S_{ATD} - S_{BTC} = \frac{a+b}{2}h - \frac{1}{2}aTT_1 - \frac{1}{2}bTT_2 = \frac{ah+bh - aTT_1 - bTT_2}{2} = \frac{a(TT_1+TT_2)+b(TT_1+TT_2) - aTT_1 - bTT_2}{2} = \frac{aTT_2+bTT_1}{2}$$

$$S_{ABT} = \frac{aTT_2+bTT_1}{2} = \frac{ah+bh - aTT_1 - bTT_2}{2}$$

$$ah + bh - aTT_1 - bTT_2 = aTT_2+bTT_1$$

Из подобия треугольников следует, что

$$S_{ABT} = \frac{ah+bh}{4} = \frac{h(a+b)}{4} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$

Что и требовалось доказать.