22. Постройте график функции y = x\(|x+2|\)-3x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Раскроем модуль:

y = \(\begin{cases} x(x+2) - 3x, & \text{если } x \geq -2 \\ x(-(x+2)) - 3x, & \text{если } x < -2 \end{cases}\)

Упростим:

y = \(\begin{cases} x^2 + 2x - 3x = x^2 - x, & \text{если } x \geq -2 \\ -x^2 - 2x - 3x = -x^2 - 5x, & \text{если } x < -2 \end{cases}\)

Для построения графика найдём вершины парабол:

Для y = x² - x, x \(\geq\) -2:

x_в = \(\frac{-(-1)}{2(1)} = \frac{1}{2}\)

y_в = (\(\frac{1}{2}\))² - \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}\)

Для y = -x² - 5x, x < -2:

x_в = \(\frac{-(-5)}{2(-1)} = -\frac{5}{2} = -2.5\)

y_в = -(-2.5)² - 5(-2.5) = -6.25 + 12.5 = 6.25

Построим график:

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m = 0 и m = 6.25.

Ответ: m = 0 и m = 6.25

Проверка за 10 секунд: Визуально проверяем график и убеждаемся, что горизонтальные линии y=0 и y=6.25 пересекают его в двух точках.

Доп. профит: Уровень Эксперт – умение строить графики кусочных функций и анализировать их поведение.