Постройте график функции $$y = x^2-|4x+5|$$. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = x^2-|4x+5|$$.

График функции будет состоять из двух частей:

1. Если $$4x+5 \geq 0$$, то $$x \geq -\frac{5}{4}$$, и функция имеет вид $$y = x^2 - (4x+5) = x^2 - 4x - 5$$.


2. Если $$4x+5 < 0$$, то $$x < -\frac{5}{4}$$, и функция имеет вид $$y = x^2 + (4x+5) = x^2 + 4x + 5$$.

Найдем вершину параболы для каждого случая:

1. Для $$x \geq -\frac{5}{4}$$: $$y = x^2 - 4x - 5$$. Вершина: $$x_в = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2$$. $$y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$.


2. Для $$x < -\frac{5}{4}$$: $$y = x^2 + 4x + 5$$. Вершина: $$x_в = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2$$. $$y_в = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$$.

Прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки, когда она проходит через вершину одной из парабол или через точку стыка двух парабол.

Найдем значение функции в точке стыка $$x = -\frac{5}{4}$$:

$$y = \left(-\frac{5}{4}\right)^2 - 4\left(-\frac{5}{4}\right) - 5 = \frac{25}{16} + 5 - 5 = \frac{25}{16}$$.

Так как $$y = \left(-\frac{5}{4}\right)^2 + 4\left(-\frac{5}{4}\right) + 5 = \frac{25}{16} - 5 + 5 = \frac{25}{16}$$, то точка стыка имеет координаты $$\left(-\frac{5}{4}; \frac{25}{16}\right)$$.

Три общие точки будут, когда $$m = -9$$ или $$m = \frac{25}{16}$$.

График функции (схематично):

      ^
      |
      |   /\
   1  |  /  \
      | /    \
 -----+--------------------->
     -2   -5/4    2
      |\    /
  25/16| \  /
      |  \/
 -9   |   V
      |
      |

Ответ: -9; 25/16