Постройте график функции $$y = x^2 - |2x+1|$$ и определите, при каких значениях m прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию $$y = x^2 - |2x+1|$$.

1) Если $$2x+1 \ge 0$$, то есть $$x \ge -\frac{1}{2}$$, то $$|2x+1| = 2x+1$$, и функция принимает вид:

$$y = x^2 - (2x+1) = x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 - 2$$

2) Если $$2x+1 < 0$$, то есть $$x < -\frac{1}{2}$$, то $$|2x+1| = -(2x+1) = -2x-1$$, и функция принимает вид:

$$y = x^2 - (-2x-1) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$$

Теперь построим график функции. Это кусочно-квадратичная функция:

• При $$x \ge -\frac{1}{2}$$: парабола $$y = (x-1)^2 - 2$$ с вершиной в точке $$(1; -2)$$.
• При $$x < -\frac{1}{2}$$: парабола $$y = (x+1)^2$$ с вершиной в точке $$(-1; 0)$$.

Прямая $$y = m$$ – это горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком ровно три общие точки, когда она проходит через вершину одной из парабол или касается графика в точке стыка кусочных функций.

В нашем случае, это происходит при следующих значениях m:

• $$m = 0$$ (прямая проходит через вершину параболы $$y=(x+1)^2$$)
• $$m = -2$$ (прямая проходит через вершину параболы $$y=(x-1)^2-2$$)

Таким образом, прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки при $$m = 0$$ и $$m = -2$$.

Ответ: m = 0, m = -2