22. Постройте график функции $$y = x^2 + 16x - 4|x + 8| + 42$$. Определите при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 + 16x - 4|x + 8| + 42$$.

Раскроем модуль:

Если $$x \ge -8$$, то $$|x + 8| = x + 8$$, тогда

$$y = x^2 + 16x - 4(x + 8) + 42 = x^2 + 16x - 4x - 32 + 42 = x^2 + 12x + 10$$

Если $$x < -8$$, то $$|x + 8| = -(x + 8)$$, тогда

$$y = x^2 + 16x + 4(x + 8) + 42 = x^2 + 16x + 4x + 32 + 42 = x^2 + 20x + 74$$

Таким образом, функция имеет вид:

$$y = \begin{cases} x^2 + 12x + 10, & x \ge -8 \\ x^2 + 20x + 74, & x < -8 \end{cases}$$

Найдем вершину каждой параболы:

Для $$x \ge -8$$:

$$x_v = -\frac{12}{2} = -6$$

$$y_v = (-6)^2 + 12(-6) + 10 = 36 - 72 + 10 = -26$$

Для $$x < -8$$:

$$x_v = -\frac{20}{2} = -10$$

$$y_v = (-10)^2 + 20(-10) + 74 = 100 - 200 + 74 = -26$$

Координаты вершин парабол: $$(-6, -26)$$ и $$(-10, -26)$$.

Найдем значение функции в точке $$x = -8$$:

Для $$x \ge -8$$:

$$y(-8) = (-8)^2 + 12(-8) + 10 = 64 - 96 + 10 = -22$$

Для $$x < -8$$:

$$y(-8) = (-8)^2 + 20(-8) + 74 = 64 - 160 + 74 = -22$$

В точке $$x = -8$$ значение функции $$y = -22$$.

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки, если она проходит через точку соединения двух кусков параболы или через вершину одной из парабол.

Прямая $$y = m$$ имеет ровно три общие точки при $$m = -22$$ и $$m = -26$$.

Ответ: -26, -22