22. Постройте график функции y = (0,5x²+x)|x| / (x+2). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Шаг 1: Упрощение функции

Рассмотрим функцию y = (0.5x² + x)|x| / (x + 2).

Учитываем модуль |x|:

• Если x ≥ 0, то |x| = x, и y = (0.5x² + x)x / (x + 2) = (0.5x³ + x²) / (x + 2).
• Если x < 0, то |x| = -x, и y = (0.5x² + x)(-x) / (x + 2) = (-0.5x³ - x²) / (x + 2).

Шаг 2: Преобразование для x ≥ 0

Для x ≥ 0:

\[y = \frac{0.5x^3 + x^2}{x + 2} = \frac{x^2(0.5x + 1)}{x + 2} = \frac{0.5x^2(x + 2)}{x + 2}\]

При x ≠ -2 (но у нас x ≥ 0, так что это условие выполняется):

\[y = 0.5x^2\]

Шаг 3: Преобразование для x < 0

Для x < 0:

\[y = \frac{-0.5x^3 - x^2}{x + 2} = \frac{-x^2(0.5x + 1)}{x + 2} = \frac{-0.5x^2(x + 2)}{x + 2}\]

При x ≠ -2:

\[y = -0.5x^2\]

Шаг 4: Итоговая функция

Итоговая функция:

\[y = \begin{cases} 0.5x^2, & x \ge 0 \\ -0.5x^2, & x < 0, x
e -2 \end{cases}\]

Шаг 5: Анализ графика

График состоит из двух парабол:

• Для x ≥ 0: y = 0.5x² (ветвь параболы в первой четверти).
• Для x < 0: y = -0.5x² (ветвь параболы в третьей четверти), с выколотой точкой при x = -2, где y = -0.5(-2)² = -2, то есть точка (-2, -2) выколота.

Шаг 6: Построение графика

Шаг 7: Определение значений m

Прямая y = m не имеет общих точек с графиком, если:

• m = 0 (т.к. функция определена как кусочная и при x=0 y = 0, но при этом при х < 0, y стремится к 0, но никогда его не достигает).
• m > 0 (т.к. функция определена только для y <= 0 и y>0)