Постройте график функции y = (x+5)(x²+5x+4) / (x+4) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построим график функции $$y = \frac{(x+5)(x^2+5x+4)}{x+4}$$ и определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Заметим, что $$x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$$, тогда функция примет вид:

$$y = \frac{(x+5)(x+1)(x+4)}{x+4}$$

При $$x
eq -4$$ можно сократить дробь на (x+4):

$$y = (x+5)(x+1) = x^2 + 6x + 5$$

Таким образом, графиком функции является парабола с вершиной в точке $$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2} = -3$$ и значением в этой точке $$y_0 = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$$.

Однако, функция не определена в точке x = -4. Подставим это значение в сокращенную функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

$$y(-4) = (-4+5)(-4+1) = (1)(-3) = -3$$

Итак, график функции $$y = \frac{(x+5)(x^2+5x+4)}{x+4}$$ представляет собой параболу $$y = x^2 + 6x + 5$$ с выколотой точкой (-4, -3).

Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через выколотую точку.

1) Прямая проходит через вершину параболы: m = -4.

2) Прямая проходит через выколотую точку: m = -3.

Ответ: m = -4; m = -3