Постройте график функции y = 4x - x² - 3. Найдите по графику промежутки возрастания функции.

Решение:

График функции \( y = -x^2 + 4x - 3 \) — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) равен \( -1 \).

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины \( x_0 \) находится по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \).

\[ x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \]

Найдем ординату вершины \( y_0 \), подставив \( x_0 = 2 \) в уравнение функции:

\[ y_0 = 4(2) - (2)^2 - 3 = 8 - 4 - 3 = 1 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (2; 1) \).

Найдем точки пересечения графика с осью \( Ox \), решив уравнение \( -x^2 + 4x - 3 = 0 \) (или \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)).

Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).

\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]

Точки пересечения с \( Ox \): \( (1; 0) \) и \( (3; 0) \).

Найдем точку пересечения с осью \( Oy \), подставив \( x = 0 \):

\[ y = 4(0) - (0)^2 - 3 = -3 \]

Точка пересечения с \( Oy \): \( (0; -3) \).

Функция возрастает слева от вершины параболы, то есть на промежутке \( (-∞; 2) \).

Ответ: Промежуток возрастания функции: \( (-∞; 2) \).