Постройте график функции \(y=\frac{x-2}{2x-x^2}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\) и \(x\ne2\). При этих значениях \(y=\frac{x-2}{x(2-x)}=-\frac1x\). Поэтому график — гипербола \(y=-\frac1x\) с выколотой точкой \((2;-\frac12)\).

Пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(-\frac1x=kx\), откуда \(kx^2=-1\). При \(k<0\) уравнение имеет два корня, противоположных по знаку. Обычно это две общие точки. Но при \(k=-\frac14\) один из корней равен \(x=2\), где график функции не определён; остаётся ровно одна общая точка. При \(k\ge0\) действительных решений нет.

Ответ: \(k=-\frac14\).