Постройте график функции y = { x^2 - 10x + 25 при x ≥ 4, x - 2 при x < 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно 2 общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию, заданную кусочно:

1. \( y = x^2 - 10x + 25 \) при \( x \ge 4 \).

Это парабола, вершина которой находится в точке \( x = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5 \). Значение функции в вершине: \( y = 5^2 - 10 \cdot 5 + 25 = 25 - 50 + 25 = 0 \). Вершина параболы: \( (5, 0) \).

При \( x = 4 \): \( y = 4^2 - 10 \cdot 4 + 25 = 16 - 40 + 25 = 1 \). Точка \( (4, 1) \).

2. \( y = x - 2 \) при \( x < 4 \).

Это прямая. При \( x = 4 \), значение функции будет \( 4 - 2 = 2 \). Однако, область определения \( x < 4 \), поэтому точка \( (4, 2) \) не включается в график.

При \( x = 0 \): \( y = -2 \). Точка \( (0, -2) \).

При \( x = 3 \): \( y = 3 - 2 = 1 \). Точка \( (3, 1) \).

Теперь построим график функции:

График состоит из части параболы \( y = (x-5)^2 \) для \( x \ge 4 \) и части прямой \( y = x - 2 \) для \( x < 4 \).

Найдем точки пересечения прямой \( y = m \) с графиком функции.

С частью параболы:

\( m = x^2 - 10x + 25 \), при \( x > 4 \)

\( x^2 - 10x + (25 - m) = 0 \)

Дискриминант: \( D = (-10)^2 - 4 × 1 × (25 - m) = 100 - 100 + 4m = 4m \).

Для двух корней \( D > 0 \), то есть \( m > 0 \).

Корни: \( x = \frac{10 \pm \sqrt{4m}}{2} = 5 \pm \sqrt{m} \).

Нам нужны корни, которые больше 4. \( 5 + \sqrt{m} \) всегда больше 4 при \( m > 0 \).

\( 5 - \sqrt{m} > 4 \) \( \Rightarrow \) \( 1 > \sqrt{m} \) \( \Rightarrow \) \( 0 < m < 1 \).

Таким образом, при \( 0 < m < 1 \) есть один корень \( 5 + \sqrt{m} \).

При \( m = 1 \): \( x = 5 \pm 1 \). \( x = 6 \) (подходит, так как \( 6 > 4 \)), \( x = 4 \) (это точка, где парабола начинается, но она не даст второго пересечения с прямой \( y = 1 \) на параболической ветви).

При \( m > 1 \) будет один корень \( 5 + \sqrt{m} \).

С частью прямой:

\( m = x - 2 \), при \( x < 4 \)

\( x = m + 2 \).

Нам нужны значения \( x < 4 \). Значит, \( m + 2 < 4 \) \( \Rightarrow \) \( m < 2 \).

Анализ количества точек пересечения:

1. Если \( m < -2 \): нет точек пересечения.

2. Если \( m = -2 \): одна точка пересечения с прямой ( \( x=0 \) ).

3. Если \( -2 < m < 1 \): две точки пересечения: одна с прямой ( \( x=m+2 \) ) и одна с параболой ( \( x = 5 + \sqrt{m} \) ).

4. Если \( m = 1 \): Одна точка с прямой ( \( x=3 \) ) и одна точка с параболой \( x=6 \). Всего 2 точки.

5. Если \( 1 < m < 2 \): Одна точка с прямой ( \( x=m+2 \) ) и одна точка с параболой \( x = 5 + \sqrt{m} \). Всего 2 точки.

6. Если \( m = 2 \): Точка \( (4, 2) \) на прямой, но она не входит в область определения. Точка \( (4, 1) \) на параболе. Вершина параболы \( (5, 0) \). При \( m=2 \), \( x = 5 + \sqrt{2} \) (с параболы). С прямой: \( 2 = x - 2 \) \( \Rightarrow \) \( x = 4 \). Но \( x < 4 \). Значит, только одна точка \( x = 5 + \sqrt{2} \).

7. Если \( m > 2 \): Одна точка пересечения с параболой \( x = 5 + \sqrt{m} \).

Итак, ровно 2 общие точки при \( -2 < m < 1 \) и при \( 1 < m < 2 \).

Объединяем: \( m \in (-2, 1) \cup (1, 2) \).

Ответ: \( m \in (-2, 1) \cup (1, 2) \).