Рабочий за час делает на 13 деталей больше, чем его напарник. Работая вместе, они делают заказ, состоящий из 208 деталей, на 8 часов быстрее, чем если бы один из них выполнял такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение:

Пусть \( x \) деталей в час делает второй рабочий. Тогда первый рабочий делает \( x + 13 \) деталей в час.

Время, за которое первый рабочий выполнит заказ, равно \( \frac{208}{x+13} \) часов.

Время, за которое второй рабочий выполнит заказ, равно \( \frac{208}{x} \) часов.

Работая вместе, они выполняют заказ за \( \frac{208}{x+13} + \frac{208}{x} \) часов.

По условию, время совместной работы на 8 часов меньше, чем время выполнения заказа вторым рабочим:

\( \frac{208}{x+13} + \frac{208}{x} = \frac{208}{x} - 8 \)

Сократим на 8:

\( \frac{26}{x+13} + \frac{26}{x} = \frac{26}{x} - 1 \)

Упростим уравнение:

\( \frac{26}{x+13} = -1 \)

\( 26 = -(x+13) \)

\( 26 = -x - 13 \)

\( x = -26 - 13 \)

\( x = -39 \)

Это не подходит, так как количество деталей не может быть отрицательным. Попробуем другое условие.

По условию, работая вместе, они делают заказ на 8 часов быстрее, чем если бы один из них (например, второй рабочий) выполнял такой же заказ. Значит:

\( \frac{208}{x+13} + \frac{208}{x} = \frac{208}{x} - 8 \)

Это условие неверно. В условии сказано: "на 8 часов быстрее, чем если бы ОДИН из них выполнял такой же заказ". Здесь не уточняется, какой именно.

Рассмотрим другой вариант:

Время, за которое первый рабочий выполнит заказ: \( t_1 = \frac{208}{x+13} \).

Время, за которое второй рабочий выполнит заказ: \( t_2 = \frac{208}{x} \).

Время, за которое они работают вместе: \( t_{вм} \).

\( t_2 - t_{вм} = 8 \)

\( t_1 - t_{вм} = 8 \) (предполагая, что первый рабочий медленнее)

\( t_2 - t_1 = 8 \) (если первый рабочий быстрее)

Из текста: "на 8 часов быстрее, чем если бы один из них выполнял такой же заказ" - это значит, что время их совместной работы на 8 часов меньше, чем время одного из них. Предположим, речь идет о более медленном рабочем (втором).

\( \frac{208}{x} - \frac{208}{x+13} = 8 \)

Разделим на 8:

\( \frac{26}{x} - \frac{26}{x+13} = 1 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{26(x+13) - 26x}{x(x+13)} = 1 \)

\( \frac{26x + 26 × 13 - 26x}{x^2 + 13x} = 1 \)

\( \frac{338}{x^2 + 13x} = 1 \)

\( x^2 + 13x = 338 \)

\( x^2 + 13x - 338 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 × 1 × (-338) = 169 + 1352 = 1521 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39 \)

\( x_1 = \frac{-13 + 39}{2} = \frac{26}{2} = 13 \)

\( x_2 = \frac{-13 - 39}{2} = \frac{-52}{2} = -26 \)

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то \( x = 13 \).

Проверим: Второй рабочий делает 13 деталей/час. Первый рабочий делает \( 13 + 13 = 26 \) деталей/час.

Время первого рабочего: \( \frac{208}{26} = 8 \) часов.

Время второго рабочего: \( \frac{208}{13} = 16 \) часов.

Время совместной работы: \( \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2+1}{16} = \frac{3}{16} \). Время \( \frac{208}{?}= \) \( \frac{16}{3} \) часов.

\( 16 - \frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3} \). Не 8 часов.

Смотрим условие: "на 8 часов быстрее, чем если бы один из них выполнял такой же заказ". Это значит, что их совместное время работы меньше времени одного из них ровно на 8 часов.

Тогда \( t_{2} - t_{совмест} = 8 \) или \( t_{1} - t_{совмест} = 8 \).

Пусть \( x \) - скорость первого рабочего, \( y \) - скорость второго.

\( x = y + 13 \)

\( \frac{208}{y} - \frac{208}{y+13} = 8 \)

\( \frac{26}{y} - \frac{26}{y+13} = 1 \)

\( 26(y+13) - 26y = y(y+13) \)

\( 26y + 338 - 26y = y^2 + 13y \)

\( 338 = y^2 + 13y \)

\( y^2 + 13y - 338 = 0 \)

\( y = 13 \) (как рассчитано выше)

\( x = 13 + 13 = 26 \)

Время первого: \( \frac{208}{26} = 8 \) часов.

Время второго: \( \frac{208}{13} = 16 \) часов.

Время совместной работы: \( \frac{208}{26+13} = \frac{208}{39} = \frac{52}{9} \) часов.

Разница между временем второго и совместной работой: \( 16 - \frac{52}{9} = \frac{144 - 52}{9} = \frac{92}{9} \). Не 8.

Рассмотрим вариант, где \( t_1 - t_{совмест} = 8 \)

\( \frac{208}{y+13} - \frac{208}{y+13+y} = 8 \)

\( \frac{26}{y+13} - \frac{26}{2y+13} = 1 \)

\( 26(2y+13) - 26(y+13) = (y+13)(2y+13) \)

\( 52y + 338 - 26y - 338 = 2y^2 + 13y + 26y + 169 \)

\( 26y = 2y^2 + 39y + 169 \)

\( 2y^2 + 13y + 169 = 0 \)

Дискриминант: \( D = 13^2 - 4 × 2 × 169 = 169 - 1352 < 0 \). Нет действительных корней.

Возможно, условие "на 8 часов быстрее, чем если бы один из них выполнял такой же заказ" означает, что если бы работал только один, то это заняло бы на 8 часов больше, чем если бы работали двое. Тогда:

\( \frac{208}{x} = \frac{208}{x+13} + 8 \)

\( \frac{208}{x} - \frac{208}{x+13} = 8 \)

\( \frac{26}{x} - \frac{26}{x+13} = 1 \)

\( 26(x+13) - 26x = x(x+13) \)

\( 26x + 338 - 26x = x^2 + 13x \)

\( x^2 + 13x - 338 = 0 \)

\( x = 13 \) (как рассчитано ранее)

Таким образом, второй рабочий делает 13 деталей в час.

Ответ: 13 деталей в час.