Постройте график функции \( y = x^2 + 4|x| - 5 \). Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Данная функция содержит модуль \( |x| \). Рассмотрим два случая:

1. Если \( x \ge 0 \), то \( |x| = x \). Функция принимает вид: \( y = x^2 + 4x - 5 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \). Однако, поскольку мы рассматриваем случай \( x \ge 0 \), эта точка не попадает в нашу область. На \( x \ge 0 \) функция возрастает.
2. Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \). Функция принимает вид: \( y = x^2 + 4(-x) - 5 = x^2 - 4x - 5 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \). Эта точка также не попадает в нашу область \( x < 0 \), поэтому на \( x < 0 \) функция убывает.

График функции является комбинацией двух частей парабол, симметричных относительно оси ординат (y-оси), так как функция чётная: \( y(-x) = (-x)^2 + 4|-x| - 5 = x^2 + 4|x| - 5 = y(x) \).

Найдем вершину графика. Поскольку функция убывает при \( x < 0 \) и возрастает при \( x > 0 \), минимальное значение достигается при \( x=0 \).

При \( x = 0 \), \( y = 0^2 + 4|0| - 5 = -5 \). Таким образом, вершина графика находится в точке \( (0, -5) \).

Найдем точки пересечения с осью абсцисс ( \( y = 0 \) ):

• \( x^2 + 4x - 5 = 0 \) (для \( x \ge 0 \)): \( (x+5)(x-1) = 0 \). \( x=1 \) (так как \( x \ge 0 \)).
• \( x^2 - 4x - 5 = 0 \) (для \( x < 0 \)): \( (x-5)(x+1) = 0 \). \( x=-1 \) (так как \( x < 0 \)).

Точки пересечения с осью абсцисс: \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).

График функции выглядит следующим образом: при \( x \ge 0 \) это часть параболы \( y = x^2 + 4x - 5 \) с вершиной в \( (0, -5) \) и проходящая через \( (1, 0) \). При \( x < 0 \) это часть параболы \( y = x^2 - 4x - 5 \) с вершиной в \( (0, -5) \) и проходящая через \( (-1, 0) \).

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = k \).

Чтобы найти наибольшее число общих точек, нужно посмотреть, сколько раз прямая \( y = k \) может пересекать график. Максимальное количество пересечений будет, когда прямая проходит через 'изгибы' графика и его вершины.

• Если \( k < -5 \), то прямая не пересекает график (0 точек).
• Если \( k = -5 \), то прямая касается графика в вершине \( (0, -5) \) (1 точка).
• Если \( -5 < k < 0 \), то прямая пересекает график в двух точках (по одной в каждой ветви).
• Если \( k = 0 \), то прямая пересекает график в двух точках \( (-1, 0) \) и \( (1, 0) \).
• Если \( k > 0 \), то прямая пересекает график в четырех точках (по две в каждой ветви, так как каждая ветвь параболы продолжается вверх).

Наибольшее число общих точек — 4.

Ответ: 4