В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и BK. Докажите, что углы AHK и ABK равны.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник CKHB. Углы CKH и CKB равны 90°, так как AH и BK - высоты. Следовательно, точки C, K, H, B лежат на окружности с диаметром CB.

• Углы AHK и ABK равны, потому что они являются углами, опирающимися на одну дугу (дугу AK) в окружности, проходящей через точки A, H, K, B.
• Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду (в данном случае, хорду AK), вписанные в окружность, равны.
• Таким образом, \(\angle AHK = \angle ABK\).