Постройте график функции y=|x²-2|x|| и найдите значения p, при которых прямая y=p имеет с графиком данной функции не менее трёх общих точек.

Решение:

Для построения графика функции , разберем ее по частям:

1. Рассмотрим функцию
   
   • Если , то . График — часть параболы .
   • Если , то . График — часть параболы .
2. Рассмотрим функцию
   
   • Если , то .
   • Если , то .

Построение графика:

1. Строим параболу . Вершина в точке (0,0), ветви вверх. Проходит через (1,1), (-1,1), (2,4), (-2,4).

2. Строим параболу . Вершина в точке (0,0), ветви вниз. Проходит через (1,-1), (-1,-1), (2,-4), (-2,-4).

3. Применяем модуль к функции :

• Часть параболы , где , остается без изменений.
• Часть параболы , где , отражается относительно оси Ox. То есть, вместо получаем .

Таким образом, график функции будет состоять из:

• Части параболы для .
• Части параболы для .
• Части параболы для (отраженная часть ).

Анализ точек пересечения с прямой

Прямая — это горизонтальная линия. Чтобы она имела не менее трёх общих точек с графиком функции , она должна пересекать:

• Вершину параболы , которая находится в точке (0,0).
• Две точки на ветвях параболы .

Или

• Две точки на ветвях параболы и одну точку на отраженной части параболы .

Рассмотрим ключевые точки графика:

• Вершины парабол, которые образуют «впадины» или «пики»:
  • y = 0 (ось Ox) — пересекает график в точках x = -2, x = 0, x = 2. Это 3 точки.
  • y = 2 (где пересекаются и ) — => => . Это 4 точки.
  • y = 4 (максимальное значение до отражения) — => . Это 2 точки.

Таким образом, прямая будет иметь не менее трёх общих точек с графиком функции , когда:

• (3 точки: x=-2, x=0, x=2)
• (4 точки: x=, x=, x=, x=)
• (2 точки: x=, x=)

Итак, чтобы прямая имела не менее трёх общих точек, значение должно быть больше или равно 0 и меньше или равно 2.

Ответ: